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項目

2.2 ブラック=ショールズ・モデルでの計算の概要

入力者 山下章太 更新日 20081129

ここでは、ブラック=ショールズ・モデルの説明を行います。

ヨーロピアン・オプションを評価する際に用いられる評価モデルで、確率微分方程式を仮定することで定式化し、オプション価値を算出するものです。

ブラック=ショールズ・モデル(Black=Scholes Model)とはデリバティブ(金融派生商品) の価格づけに現れる偏微分方程式(及びその境界値問題)のことである。
ブラック-ショールズモデルは1973年にフィッシャー・ブラック(Fischer Black)と マイロン・ショールズ(Myron Scholes)が共同で発表した理論であり、 このモデルを使って当時の懸案であったヨーロピアン・コール(及びプット)オプション(満期日にのみ権利を行使できるオプション取引)の オプション・プレミアムを計算してみせた。
後にロバート・マートンが彼らの方法に厳密な証明を与えた。
これらの理論は現代金融工学のさきがけとなったとも言われる。
[Wikipediaより]

余談ですが、破綻した有名なヘッジファンドであるLTCMには、 マイロン・ショールズとロバート・マートンが取締役として参加していたことは有名です。

ブラック=ショールズ・モデルはヨーロピアン・オプション(満期時にしか権利行使をすることができないオプション取引) を評価するモデルですので、アメリカン・オプション(いつでも権利行使することができるオプション取引)を評価することは出来ません。
正確には、ブラック=ショールズ・モデルをシナリオごとに作成して計算する、モンテカルロ・シュミレーションなどを利用する際には、 アメリカン・オプションの評価を行うことが出来ますが、ブラック=ショールズ・モデル自体は、 アメリカン・オプションを評価することが出来ません。

ただし、後に説明する格子モデル等においても、アメリカン・オプションの価値を算定する際には、 満期まで保有する前提をおいて評価した方が価格が高くなるため、 特殊な条件が付与されていない場合、ブラック=ショールズ・モデルで算定した結果と 格子モデルで算定した結果はほぼ一致することになります。

下記の計算式に値を代入するモデルですが、アメリカン・オプション(いつでも権利行使可能なオプション)の評価はできませんので、 ブラック=ショールズ・モデルを利用する際には、便宜的にヨーロピアン・オプションと仮定して取り扱うことになります。

算定式

ブラック・ショールズ式は、ヨーロピアン・オプションを評価する際に用いられる評価モデルで、 確率微分方程式を仮定することで定式化し、オプション価値を算出するものです。
コール・オプションを例に採ると、オプション価値は下式で算定されます。

ブラック=ショールズ・モデル

本来のブラック・ショールズ式には配当支払による株価への影響(権利落ち価格)が考慮されていませんので、 通常は、配当による権利落ちを調整するために、ブラック・ショールズ式を以下のように修正して使用します。

【配当修正モデル】

ブラック=ショールズ・モデル

計算例

以下のような単純な株式コール・オプションであった場合、コール・オプションの価値はブラック・ショールズ式を使用すると 以下のように算定されます。 配当における権利落ちを考慮しない場合と考慮する場合を比較して算定しています。

ブラック=ショールズ・モデル:計算サンプル

上記のように、配当による権利落ちを無視すると、オプション価値はかなり大きく算定されることが分かります。

ブラック・ショールズ式における簡易シミュレーション

仮に株価とボラティリティの変動におけるオプション価値の推移を表すと、下表のようになります。

【配当なしのケース】

グラフ
ブラック=ショールズ・モデル
数値
ブラック=ショールズ・モデル

【配当あり(60円/年)のケース】

グラフ
ブラック=ショールズ・モデル
数値
ブラック=ショールズ・モデル

yenbridgeでは、ブラック=ショールズ・モデルで簡単に計算を行うためのフォームを用意しております。下記リンクからご利用下さい。
ブラック=ショールズ・モデル計算フォーム

1. ストック・オプションの概要
2.1 ストック・オプションの評価の流れ
2.3 二項モデルでの計算の概要

株式会社yenbridge(エンブリッジ)では、ストック・オプションの評価を実施しております。
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